ÉPREUVE de MATHÉMATIQUES 2007

Publié le par Classe préparatoire du Legta de Valence

Durée : 3 heures

 

Rappel : L’usage de la calculatrice est autorisé

 

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur

d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons

des initiatives qu’il a été amené à prendre.

 

 

PREMIER EXERCICE (4 points)

1) Soit l’équation différentielle (E) : x2 . y  '-  y  = x2 -  x +1 où y est une fonction de la variable x

définie sur l’intervalle ] 0 ; + ∞[.

a) Résoudre l’équation différentielle sans second membre associée à l’équation (E) :

 x2 . y  '-  y  = 0 .

b) On suppose qu’il existe une fonction polynôme solution de l’équation (E). Déterminer son degré. Démontrer l’existence d’une unique fonction polynôme solution de l’équation différentielle (E).

c) En déduire la résolution de l’équation différentielle (E).

 

2) Soit la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ;+infini[ par f(x) = (1 –1/x) . exp (1/x)

a) Justifier que la fonction f admet des primitives sur l’intervalle ]0 ;+∞[ que l’on ne cherchera pas à expliciter.

On note F la primitive particulière telle que F(1)= exp (1) .

b) On suppose qu’il existe une fonction K définie sur l’intervalle ]0 ;+infini[ telle que la

fonction G définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par G(x) =  K(x) . exp (-1/x) soit solution de l’équation (E).

Démontrer qu’il existe une constante réelle c telle que, pour tout nombre x de l’intervalle ]0 ;+∞[,

K(x)= F(x) – exp (1/x) + c

c) Déduire des questions précédentes l’expression de F(x).

 

 

DEUXIEME EXERCICE (6 points)

Les parties A et B sont largement indépendantes.

 

PARTIE A

1) Soit θ un nombre réel distinct de π/2 + kπ pour tout nombre entier relatif k.

a) Démontrer que 1 + i . tan θ = exp (i.θ) / cosθ et 1 - i . tan θ = exp (-i.θ) / cosθ

b) En déduire que (1 + i . tan θ) / (1 - i . tan θ) = exp (2.i.θ).

c) Déterminer cos(2θ) et sin(2θ) en fonction de tan(θ).

d) Donner l’expression de tan(2θ) en fonction de tanθ lorsque θ est distinct de π/4 + kπ/2 et de π/2 + kπ

pour tout nombre entier relatif k.

2) Démontrer que tan (π/8) est solution d’une équation du second degré puis que la valeur exacte de tan (π/8) est √2 –1.

 

 

PARTIE B

On considère l’application linéaire f de R2 dans R2 dont la matrice dans la base canonique

est :

                                   √2/2                            √2/2

                      A =

                                   1 - √2/2                      1 - √2/2

 

1) Déterminer le noyau de l’application linéaire f .

 

2) Démontrer que l’ensemble I des points invariants de R2 par l’application f est un sous espace vectoriel de dimension 1.

 

3) Déduire des questions précédentes que la matrice A admet deux valeurs propres distinctes que l’on précisera, puis qu’elle est diagonalisable.

 

4) Pour tout nombre entier naturel n non nul, déterminer An .

 

5) Soit w = (a,b) un élément de R2 générateur de l’ensemble I. On suppose que a > 0 . On se place dans le plan affine euclidien orienté rapporté à un repère orthonormal direct (O; u ,v) . Soit le point M de coordonnées (a,b) .

Déterminer une mesure en radians de l’angle (u, OM).

 

 

TROISIEME EXERCICE (3 points)

1) Déterminer le nombre de mots de six lettres comportant deux fois la lettre V et quatre fois la lettre R.

 

2) On procède à l’expérience aléatoire suivante. Dans une urne contenant quatre boules rouges et deux boules vertes, on retire successivement sans remise toutes les boules de l’urne.

 

Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le rang de la première boule verte.

 

a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

 

b) Soit Y la variable aléatoire prenant pour valeur le rang de la deuxième boule

verte. Déterminer la loi conjointe du couple de variables aléatoires (X ,Y ).

-

c) Vérifier que les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes.

 

d) Soit W la variable aléatoire prenant pour valeur la somme des rangs des deux

boules vertes. W = X + Y .

 

Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire W.

 

 

QUATRIEME EXERCICE (7 points)

On rappelle que toute suite numérique décroissante et minorée est convergente.

 

Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0;1[ par f (x)= x + ln(1- x).

1) Démontrer que la fonction f est décroissante sur l’intervalle [0;1[.

En déduire pour tout x de l’intervalle [0;1[, le signe de x + ln(1- x).

Soit la suite (un) n€N définie par (un) = (∑ 1/k) – ln (n) de k = 1 à n.

 

2) Calculer les cinq premiers termes de cette suite.

 

3) Démontrer que pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à 2,

(un) - (un-1) = 1/n = ln (1 – 1/n)

En déduire le sens de variation de la suite (un) n€N.

 

4)

a) Démontrer que pour tout x de l’intervalle [0,¼], 2/3 . x2 + x + ln(1-x) ≥ 0

b) Démontrer que pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 4,

(un-1) - (un) ≤ 2/3 . 1 / n2 puis que pour n ≥ 5, u4 – un ≤ 2/3 (∑ 1/k2) de k = 5 à n.

c) Vérifier que pour tout nombre entier k supérieur ou égal à 2,

1/k2 ≤ 1/(k-1) –1/k

d) En déduire que pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 5,

(∑ 1/k2) ≤ ¼ -1/n ≤ ¼

e) Démontrer que pour tout n supérieur ou égal à 5, un ≥ u4 –1/6

En déduire que la suite (un) n€N admet une limite C puis que 0,5 ≤ C ≤ 0,7 .

 

Publié dans Sujets de concours

Commenter cet article