Mathématiques

Publié le par Classe préparatoire du Legta de Valence

 NOMBRES COMPLEXES

-.Les nombres complexes ; nombres complexes conjugués ;. représentation géométrique d'un
                nombre complexe : affixe d'un point, d'un vecteur.

-.Module d'un nombre complexe ; module d'un produit, inégalité triangulaire.

-.Nombres complexes de module 1; argument d'un nombre complexe non nul, notation e.

-.Relation expi(θ+θ') = eiθ.. eiθ’, lien avec les formules d'addition; formule de Moivre; formules
                 d'Euler : cosθ = ½ . (eiθ.+ eiθ’), sinθ = ½i . (eiθ.- eiθ’),  ..

 

Travaux pratiques :

Résolution des équations du second degré à coefficients réels

Transformation de acosθ + bsinθ, où a et b sont des réels.

Mise en oeuvre, sur des exemples, des formules de Moivre et d’Euler (linéarisation de polynômes trigonométriques).

 

 

GÉOMÉTRIE

Cette rubrique est étudiée pour son utilité en sciences physiques et en probabilités. En outre, elle sert à la fois de support intuitif et de terrain d’application à l'algèbre linéaire.

 

-.Repères. Changement de repère

-.Équations et représentations paramétriques d'une droite du plan ou de l'espace

-.Equations d'un plan

-.Produit scalaire, norme euclidienne

-.Distance d'un point à une droite, à un plan

-.Projection orthogonale d'un point sur une droite, sur un plan

 

Travaux pratiques :

Exemples de situations permettant de rencontrer le parallélisme de droites et de plans, les projections (orthogonales ou non), le théorème des trois perpendiculaires, le théorème de Pythagore.

 

ALGÈBRE LINÉAIRE

Espace vectoriel IRn sur lRp; sous-espaces vectoriels de JRn

-.Intersection de sous-espaces ; sous-espace engendré par une famille finie ; somme de
               deux sous-espaces, somme directe de deux sous-espaces, sous-espaces
               supplémentaires

-.Dépendance et indépendance linéaire d'une famille finie.

-.Bases et dimension de sous-espaces vectoriels de IRn

-.Rang d'une famille finie de vecteurs

Application linéaire de IRn dans IRp

-.Opérations sur les applications linéaires : addition, multiplication par un scalaire,
                composition.

-.Noyau, image, rang

-.Relation : dim Ker f + dim Im f = dim E

Matrices

-.Matrice d'une application linéaire de IRn dans IRp, une base ayant été choisie dans
              chacun des espaces vectoriels IRn et IRp.

-.Opérations sur les matrices : addition, multiplication, produit par un scalaire,
               transposition

-.Déterminant, inverse d'une matrice carrée d'ordre n de déterminant non nul ; matrice de
                passage ; valeurs propres, vecteurs propres

 

Travaux pratiques :

Résolution de systèmes d'équations linéaires.

Inversion d'une matrice.

Diagonalisation de matrices carrées.

Exemples de situation mettant en oeuvre des projecteurs.

 

ANALYSE

Fonctions réelles d’une variable réelle

-.Limites, continuité, prolongement par continuité

-.Image d'un segment (resp. intervalle) par une fonction continue sur ce segment (resp. intervalle)

-.Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle

-.Dérivabilité. Inégalité des accroissements finis

-.Opérations sur les dérivées : linéarité, produit, quotient, composées

-.Dérivées première et seconde: application à l'étude du sens de variation des fonctions, à la
               recherche d'extremums et de points d'inflexion

-.Notation différentielle de la dérivée.

 

Travaux pratiques :

Étude de fonctions polynômes, de fonctions rationnelles ou comportant des radicaux, de fonctions trigonométriques, logarithmiques, exponentielles et puissances.

Croissances comparées des fonctions logarithmes, exponentielles, puissances.

Exemples d’études de comportements

asymptotiques de fonctions.

Exemples de calcul approché d'une racine d'une équation : f (x) = 0 .

Exemples d'étude de limites de suites définies par Un = f (n) ; Un+1 = f (Un)

 

Calcul intégral

-.Définition de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment : l'existence d'une primitive F de
               f sur [a, b] étant admise :∫f(x)dx = F(b) – F(a) bornées entre a et b

-.Interprétation géométrique

-.Relation de Charles, linéarité, positivité, inégalité des valeurs absolues

-.Intégration par parties ; intégration par changement de variable

-.Intégrale généralisée : définition de l'intégrale d'une fonction définie sur un intervalle semi-ouvert
               ou ouvert

 

Travaux pratiques

Calcul d'intégrales portant sur des fonctions intervenant en probabilités.

Application du calcul intégral au calcul d'aires.

Exemples d'intégration de fonctions rationnelles décomposées en éléments simples.

 

Equations différentielles

-.Résolution des équations différentielles du premier ordre y'+a(x)y = b(x), où a et b sont des
              fonctions continues réelles sur un intervalle

-.Résolution de y"+ay'+by = f(x) où a et b sont des nombres réels :

-.dans le cas où f = 0

-.dans le cas où f est une fonction polynôme

-.  dans le cas où f est une fonction exponentielle du type x → emx.

 

Travaux pratiques

Exemples d'étude d'équations différentielles linéaires du premier ordre et du second ordre à coefficients constants.

 

PROBABILITÉS

Variables aléatoires réelles discrètes

 

Travaux pratiques

Pour une variable aléatoire réelle discrète: loi de probabilité, fonction de répartition, espérance mathématique; variance; écart type.

Lois usuelles : loi de Bernoulli, loi binomiale, exemples d'utilisation de la loi hypergéométrique, loi de Poisson.

Couples de variables aléatoires discrètes réelles Loi conjointe, lois marginales.

Indépendance de deux variables aléatoires réelles discrètes.

Somme de deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes.

 

Variables aléatoires réelles à densité

-.Loi de probabilité (elle est définie par la fonction densité de probabilité). On se limitera au cas
               où la fonction de répartition est continue sur IR et, de plus, admet, sauf peut être en un nombre
               fini de points, une dérivée continue.

-.Lois usuelles : loi uniforme, loi normale.

-.Couple de deux variables aléatoires indépendantes de lois gaussiennes.

-.Somme de deux variables aléatoires indépendantes de lois gaussiennes.

 

Théorèmes limites

-.Inégalité de Bienaymé Tchebychev.

-.Loi faible des grands nombres. Énoncé du théorème de la limite centrée. Application à la loi
               binomiale.

 

Travaux pratiques

Exemples d'étude de problèmes de probabilité issus de jeux, de la vie courante ou des sciences.

Exemples d'utilisation des approximations de la loi binomiale.

Utilisation des tables de probabilité de la loi normale.

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